SAJÁT FELADAT!!!
Elhelyezhető-e a térbeli 8x8x8-as sakktáblára 64 darab vezér úgy, hogy
semelyik kettő ne üsse egymást? (A 3 dimenziós sakktáblán a vezérek a lap-,
él- és csúcsszomszédos mezők irányába lévő mezőkre léphetnek.)
Megoldás:
Nem helyezhetőek el!
Tegyük fel, hogy mégis elhelyeztük a 64 vezért a megfelelő módon.
Ha a 8x8-as hagyományos sakktáblát nézzük, akkor erre maximum
8 vezért helyezhetünk el úgy, hogy semelyik 2 ne üsse egymást.
Ha felbontjuk a 8x8x8-as táblát 8 darab 8x8x1-es részre, akkor
mivel 64 vezérünk van és mindegyikre legfeljebb 8 vezért tehetünk,
minden 8x8x1-es részbe pontosan 8 vezér kerül.
Ha vesszük most az 'alsó' 8x8x1-es szinten fölött levő 8x8x1-es részt
(tehát a 2. szintet), akkor ennek a 'belső' mezőire (a belső
6x6x1-es rész) biztosan kerül legalább 4 vezér, ugyanis a szélső
mezőkre legfeljebb csak 4-et tehetünk. Tekintsük most azt a 3x3x8-as
blokkot, amelynek az egyik 3x3x1-es mezőjének közepére esik ez a
vezér. Mivel minden egyes 8x1x1-es blokkban kell lennie egy-egy
vezérnek, ezért ebben a 3x3x8-asban 9 vezér van. De a kiválasztott
vezérünk a 3x3x8-as blokk második szintjének a középső mezőjén áll,
ezért támadja az alsó 3x3x3-as blokk minden mezőjét, így a maradék
3x3x5-ösbe kellene még 8 vezért elhelyeznünk. Ha a 3x3x5-ös blokkba
elhelyezünk 8 vezért, akkor biztosan lesz 3 olyan szint, ahol 2 vezér áll
(3 vezér nem állhat egy 3x3x1-es blokkban). A 3x3x5-ös blokkban a
3 szint közül, amelyen 2 vezér áll, az egyik biztosan nem szélső
szint. Vegyünk az egyik ilyet. Egy 3x3x1-es blokkban 2 egymást
nem ütő vezér csak úgy helyezkedhet el, ha egymástól lóugrásnyira
vannak.
Például:
v - -
- - -
- v -
De ekkor a szomszédos szinteken a következő mezőket támadják:
x x -
x x x
x x x
Vagyis az alatta és a fölötte levő szintre (van ilyen, mert így
választottuk ezt a szintet) is csak 1-1 szabad hely van a vezérnek
egymás fölött, ezek pedig ütnék egymást.
Tehát a vezérek elhelyezése nem lehetséges a 8x8x8-as térbeli
táblára.